مسئله خط مماس

اگر نمودار تابع f از نقطه (۲,۴) بگذرد و lim(x→2) [f(x)-f(2)]/(x-2)=۳ باشد، معادله خط مماس بر نمودار f را در نقطه A بدست آورید.

حل مسئله

خب، سوالت یکم پیچیده به نظر میاد ولی نگران نباش! با هم قدم به قدم جلو میریم تا قشنگ مسئله رو حل کنیم. اول از همه باید بفهمیم اصلاً این چیزایی که اینجا نوشتی یعنی چی؟ 🤔

بیایید اصطلاحات رو ساده کنیم:

• نمودار تابع f: فرض کن یه دستگاه مختصات داریم (مثل همون x و y که توی مدرسه یاد گرفتید). حالا یه خط یا یه منحنی رسم میکنیم که نشون میده وقتی یه عدد (x) رو به عنوان ورودی به تابع میدیم، چه عددی (f(x)) به عنوان خروجی بدست میاریم. این خط یا منحنی همون نمودار تابع f هست.
• نقطه (۲,۴): یعنی روی نمودار تابع f یه نقطه وجود داره که مختصاتش ۲ و ۴ هست. انگار توی نقشه، خونه‌ای رو مشخص کردیم به آدرس ۲ و ۴.
• lim(x→2) [f(x)-f(2)]/(x-2)=۳: این قسمت یکم سخت‌تره! 😅 یعنی چی؟ ببین، ما میخوایم بدونیم وقتی x داره خیلی خیلی نزدیک میشه به عدد ۲ (ولی دقیقاً مساوی ۲ نمیشه)، مقدار عبارت [f(x)-f(2)]/(x-2) به چه عددی نزدیک میشه. این همون چیزیه که بهش میگن "حد". اینجا گفته این حد برابر با ۳ هست.
• خط مماس: حالا تصور کن یه منحنی داریم. خط مماس، خطیه که فقط در یک نقطه (مثلاً همون نقطه A) به منحنی ما برخورد میکنه و اونجا دقیقاً شکل منحنی رو داره. انگار یه خط کش رو روی منحنی گذاشتیم و فقط توی یه نقطه باهاش تماس داره.
• معادله خط مماس: یعنی میخوایم یه فرمول ریاضی پیدا کنیم که بتونه این خط مماس رو به طور کامل توصیف کنه.

حل مسئله گام به گام:

ما میدونیم که نمودار تابع f از نقطه (۲,۴) عبور میکنه، پس:

همچنین میدونیم که حد عبارت [f(x)-f(2)]/(x-2) وقتی x به ۲ نزدیک میشه، برابر با ۳ هست. این همون شیب خط مماس در نقطه (۲,۴) هست. یعنی:

حالا ما یه نقطه داریم (۲,۴) و یه شیب داریم (۳). با استفاده از فرمول پیدا کردن معادله خط میتونیم معادله خط مماس رو بدست بیاریم. فرمولش اینه:

که در اینجا:

• y و x مختصات هر نقطه روی خط هستند.
• y1 و x1 مختصات نقطه (۲,۴) هستند.
• m شیب خط هست که برابر با ۳ هست.

پس معادله خط مماس میشه:

حالا این معادله رو ساده میکنیم:

به همین سادگی! معادله خط مماس بر نمودار f در نقطه A برابر با y = 3x - 2 هست. 🎉

بازبینی

خب، حالا که جواب رو نوشتیم، بذارید یه نگاه دقیق‌تر بهش بندازیم و ببینیم همه چیز درست پیش رفته یا نه. 🤔

• آیا اصطلاحات رو درست فهمیدیم؟ بله، فکر کنم تونستیم همه چی رو ساده کنیم و قابل فهم کنیم.
• آیا از اطلاعاتی که توی سوال داده شده به درستی استفاده کردیم؟ بله، هم نقطه (۲,۴) رو در نظر گرفتیم و هم مقدار حد رو به عنوان شیب خط مماس استفاده کردیم.
• آیا محاسباتمون درست بود؟ بله، معادله خط رو با استفاده از فرمول درست محاسبه کردیم و ساده‌سازی هم درست انجام شد.
• آیا جوابمون منطقیه؟ بله، یه معادله خط داریم که از نقطه (۲,۴) عبور میکنه و شیبش ۳ هست. این دقیقاً همون چیزیه که ما میخوایم.

به نظر میرسه همه چیز عالی پیش رفته! 😊

y = 3x - 2

راه حل تستی و کوتاه:

• شیب خط مماس: m = lim(x→2) [f(x)-f(2)]/(x-2) = ۳
• نقطه (۲,۴) روی خط مماس قرار دارد.
• معادله خط مماس: y - 4 = 3(x - 2) => y = 3x - 2

توضیحات بیشتر برای درک بهتر:

فرض کن میخوای یه نقاشی بکشی و یه منحنی زیبا رسم کنی. حالا میخوای توی یه نقطه خاص از این منحنی، یه خط صاف بکشی که دقیقاً شکل اون قسمت از منحنی رو تقلید کنه. این خط صاف همون خط مماس هست. 🎨

برای پیدا کردن معادله این خط، اول باید شیبش رو بفهمیم. شیب یعنی چقدر خط به سمت بالا یا پایین میره. توی این مسئله، ما با استفاده از "حد" تونستیم شیب خط مماس رو بدست بیاریم. حد یعنی وقتی یه نقطه داره خیلی نزدیک میشه به یه مقدار خاص (مثلاً ۲)، چه اتفاقی میفته؟

بعدش که شیب رو پیدا کردیم، فقط کافیه یه نقطه روی خط رو داشته باشیم تا بتونیم معادله خط رو بنویسیم. توی این مسئله، ما میدونستیم که خط مماس از نقطه (۲,۴) عبور میکنه. پس با داشتن شیب و یک نقطه، تونستیم معادله خط رو پیدا کنیم. 🥳

سوالات مشابه:

1. اگر نمودار تابع g از نقطه (۱,۵) بگذرد و lim(x→1) [g(x)-g(1)]/(x-1)=۲ باشد، معادله خط مماس بر نمودار g را در نقطه A بدست آورید.
2. تابع h طوری تعریف شده که h(۳) = ۶ و lim(x→3) [h(x)-h(3)]/(x-3)=۴ باشد. معادله خط مماس بر نمودار h را در نقطه ای که x=۳ است، پیدا کنید.
3. اگر نمودار تابع k از نقطه (۰,۲) عبور کند و lim(x→0) [k(x)-k(0)]/(x-0)=-۱ باشد، معادله خط مماس بر نمودار k را در نقطه A بدست آورید.